понедельник, 12 декабря 2011 г.

Призыв

Прошу проверить правильность решения заданий ЕГЭ. Задание 1. Задачи имеют практический смысл. В основе их решения лежат алгоритмы нахождения а) дроби (процента) от числа; б) числа по значению его дроби (процента) ; в) процентного отношения величин. Слово “процент” означает сотую долю: 0,01 = 1/100 Для нахождения процента от величины процент переводится в десятичную дробь (перемещая запятую на две позиции влево) и полученная дробь умножается на величину. За 100 % нужно выбирать исходное, старое, бывшее значение величины. Для нахождения величины по значению её процента процент переводится в десятичную дробь, на которую делится значение процента от величины. В городе N живет 250000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 30% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает? Решим задачу двумя способами. «В объектах». Единица измерения - человек «В дробях» 1. 15% = 0,15 250000 ∙ 0,15 = 37500 – дети и подростки 1. Всё население – 100% 100% – 15% = 85% = 0,85 всего населения – взрослые. 2. 250000 – 37500 = 212500 – взрослые 2. Теперь взрослые составляют 100% 100% - 30% = 70% = 0,7 – работающие взрослые 3. Все взрослые составляют 100% 30% = 0,3 212500 ∙ 0,3 = 63750 – неработающие 4. 212500 – 63750 = 148750 - работают 3. 0,85 ∙ 0,7 = 0,595 всего населения – работающие взрослые 250000 ∙ 0,595 = 148750 чел. работающих взрослых Ответ 148750 В летнем лагере на каждого участника полагается 70 г сахара в день. В лагере 172 человека. Какого наименьшего количества килограммовых пачек сахара достаточно на 7 дней? 70г – 0,07кг. 0,07 ∙ 172 = 12,04кг дневная норма на весь лагерь 12,04 ∙ 7 = 84,28 кг недельная норма на весь лагерь. Т.к. сахар требуется в килограммовых пачках, то необходимо 85 пачек. Никто не должен быть обделён. Ответ: 85 В летнем лагере 236 детей и 29 воспитателей. В автобус помещается не более 46 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город? Всего в лагере 236 + 29 = 265 человек. Разделим их количество на вместимость автобусов: 265: 46 = 5,7608…автобуса. Но количество автобусов должно быть целым и никто не должен остаться в лагере, значит, требуется 6 автобусов. Ответ: 6 На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 47 руб. за штуку. У Вани есть 500 руб. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения? Ваниных денег хватит на 500 : 47 = 10,638… цветов. Количество цветов должно быть целое, нечётное и наибольшее. Ответ : 9. Сырок стоит 7 руб. 30 коп. Какое наибольшее число сырков можно купить на 70 рублей? 70 : 7,3 = 9,589.. Количество сырков целое и наибольшее. Ответ: 9 Флакон шампуня стоит 120 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%? Исходная (старая) цена флакона – 100% После скидки она составила 100 - 35 = 65% = 0,65 старой цены. 120 ∙ 0,65 = 78 руб. 700 : 78 = 8,974.. Количество флаконов должно быть целое и наибольшее. Ответ: 8 Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 24%? Исходная (старая) цена ручки – 100%. После удорожания она составила 100 + 24 = 124% = 1,24 старой цены. 30 ∙ 1,24 = 37,2 руб 500 : 37,2 = 13,4408… Количество ручек целое и наибольшее. Ответ: 13 В пачке бумаги 250 листов формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 8 недель? Требуемое количество листов бумаги 700 ∙ 8 = 5600. Количество пачек 5600 : 250 = 22,4 Количество пачек целое наименьшее, но достаточное. Ответ 23 Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 46 поездок. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 720 рублей, а разовая поездка 19 рублей? 19 ∙ 46 = 874 руб. – оплата по разовому тарифу. 874 – 720 = 154 руб. экономия. Ответ: 154 Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,25 г 2 раза в день в течение 20 дней. Лекарство выпускается в упаковках по 12 таблеток по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? 2 ∙ 20 = 40 таблеток составляет курс лечения. 40 : 12 = 3,33… количество упаковок. Количество упаковок целое, наименьшее, но достаточное. Ответ: 4 Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 16 г лимонной кислоты. Хозяйка готовит 6 литров маринада. В магазине продаются пачки лимонной кислоты по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления маринада? 16 ∙ 6 = 96 г требуемое количество лимонной кислоты 96 : 10 = 9,6 требуемое количество пачек. Количество пачек целое, наименьшее, но достаточное. Ответ: 10 В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 2 шоколадки, 3-ю шоколадку покупатель получает в подарок. Шоколадка стоит 20 рублей. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель на 310 рублей? 310 : 20 = 15,5 шоколадок можно купит на указанную сумму денег. Т.е.15 шоколадок, составляющие 7 целых пар, каждая из которых даёт возможность получить дополнительную шоколадку. Итого 15 + 7 22 шоколадки. Ответ: 22 Цена на электрический чайник была повышена на 22% и составила 1830 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены? Исходная (старая) цена 100%. После удорожания она составила 100 + 22 = 122% = 1,22 старой цены. 1830 : 1,22 = 1500 руб. Иначе. цена проценты старая х 100 х/1830 = 100/122 новая 1830 122 х = (1830 ∙100)/122 = 1500, Ответ: 1500 Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 632 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку? Цена на футболку была снижена на 800 – 632 = 168 руб., что составляет 168/800 = 21/100 старой цены. Переведём дробь в проценты, помня, что слово процент означает сотую долю. Иначе. цена проценты старая 800 100 удешевление 168 х 800/168 = 100/х ; х = (168 ∙100)/800 = 21 Ответ: 21 Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей? Оптовая цена учебника 100%, розничная цена- 120% = 1,2, что составляет 170 ∙ 1,2 = 204 руб. 7000 : 204 = 34,31… Количество учебников целое, наибольшее. Ответ: 34 Железнодорожный билет для взрослого стоит 550 рублей. Стоимость билета школьника составляет 60% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 4 взрослых. Какова стоимость билетов на всю группу? Цена билета школьника 550 ∙ 0,6 =330 руб. Тогда стоимость билетов на всю группу 330 ∙ 18 + 550 ∙ 4 = 5940 +2200 = 8140 руб. Ответ: 8140 В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, ежемесячно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена товара, если выставленный на продажу за 6000 рублей, он через два месяца стал стоить 3840 рублей. Пусть х % ежемесячное уменьшение цены товара. 100 % исходная цена товара. Через месяц цена товара составит (100 – х ) % от исходной цены. Переведём проценты в десятичную дробь: (100 – х ) % = (100 – х )/100. Тогда новая цена (100 – х )/100 ∙ 6000 = (100 – х) ∙ 60 рублей. Ещё через месяц цена товара составит (100 – х ) % от новой цены. Т.е. (100 – х )/100 ∙ (100 – х) ∙ 60 = 〖(100 – х)〗^2/10 ∙ 6. Известно, что последняя цена равна 3840 рублей, тогда 〖(100 – х)〗^2/10 ∙ 6 = 3840, (100 – х) 2 = 6400, 100 – х = 80. Ответ: 80 Задание 2. Чтение графиков и диаграмм. На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций газодобывающей компании в течение первых двух недель ноября. 2 ноября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 7 ноября, а 13 ноября - остальные 4. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций (все операции проводились в момент открытия биржи)? 1. Определите цену деления по осям: по горизонтальной – 1 день, по вертикальной – 1200 : 4 = 300руб. 2. Акции покупались по цене 2100 руб. Стоимость покупки2100 ∙ 10=21000 3. Продажа первых 6 акций осуществлялась по цене 1800 руб., а продажа оставшихся 4 акций осуществлялась по цене 1200 руб. 1 способ 2 способ Стоимость продажи 6 акций 1800 ∙ 6 = 10800 Стоимость продажи 4 акций 1200 ∙ 4 = 4800 Стоимость всей продажи 10800 + 4800 = 15600 Потери 21000 – 15600 = 5400 Ответ: 5400 Потери при продаже 6-х акций 2100 – 1800 = 300 300 ∙ 6 = 1800 Потери при продаже 4 –х акций 2100 – 1200 = 900 900 ∙ 4 = 3600 Все потери 1800 + 3600 = 5400 Первый посев семян петрушки рекомендуется проводить в апреле при дневной температуре воздуха не менее ° С. На рисунке показан прогноз дневной температуры воздуха в течение первых трех недель апреля. Определите, в течение скольких дней за этот период можно производить посев петрушки График дневной температуры расположен не ниже отметки + 6°С с 9 по 19 апреля включительно, что составляет 19 – 9 + 1 = 11 дней. Ответ: 11 На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 10 по 26 ноября 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена никеля на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период. Самая низкая точка графика имеет горизонтальную координату 21. Ответ 21 На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за данный период осадков не было. Отсутствие осадков означает нулевое значение количества, соответствующее точкам графика, лежащим на горизонтальной оси. Они имеют координаты 5,8,9 и 12. Ответ: 4 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали ― температура в градусах Цельсия. a) Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1999 году. Самый низкий столбец диаграммы имеет вертикальную координату –8,0, а самый высокий столбец имеет вертикальную координату 20,0. Разность 20,0 – (–8,0) = 28,0. Ответ: 28 б) Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 10 градусов Цельсия. Столбцы диаграммы, превышающие вертикальную отметку 10, соответствуют числам 6,7,8 и 9. Ответ: 4 На рисунке показан график разряда батарейки в карманном фонарике. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси – напряжение в вольтах. Определите по рисунку, какое напряжение будет давать батарейка через 5 часов работы фонарика. Ответ дайте в вольтах. Ответ: 1,2 Задание 3. Решение уравнений сводится к решению простейших уравнений вида √(f(x)) = a , где a ≥ 0 √(f(x)) = √(g(x)), где f(x) ≥ 0 или g(x) ≥ 0 Возвести обе части в квадрат. Получим f(x) = a2 . Получим f(x) = g(x) . Проверить выполнение условия. a^(f(x)) = b, где a > 0 , a ≠1, b >0 a^(f(x))= a^(g(x)), где a > 0 , a ≠1 f(x) = g(x)) 〖log〗_a⁡〖f(x)〗 = b, где a >0, a ≠1 〖log〗_a⁡〖f(x)〗 = 〖log〗_a⁡〖g(x)〗, где {█(a>0,a≠1@f(x) > 0@g(x) > 0)┤ Основное логарифмическое тождество a^〖log〗_a⁡b = b или log_a⁡b = c ⟺ a^c = b ( b = a^c) Функции у = √x , у = √(n&x) , y = a^x , y = 〖log〗_a⁡x монотонны на области определения, т.е. принимают каждое значение только один раз. Поэтому их аргументы равны, если равны значения функций. Например: Равенство log_3⁡〖(4-3х)〗 = log_3⁡〖(2х+5)〗 означает, что 4 – 3х = 2х + 5, если 4 – 3х > 0 и 2х + 5 > 0; равенство 5^(3х-7) = 5^(4х+2) означает, что 3х – 7 = 4х + 2; равенство √(5х-9) = √(5-2х) означает, что 5х – 9 = 5 – 2х , если 5х ≥ 9 или 2х ≤ 6. Решить уравнения (возведением обеих частей уравнения в квадрат). √(52-5x) = 4. 52 – 6х = 16; 6х = 52 – 16; 6х = 36; х = 6. Ответ: 6 √(10/(4х-58)) = 1/7 ; 10/(4х-58) = 1/49 ; 4х – 58 = 49 ∙ 10; 4х = 490 – 58; 4х = 432. Можно воспользоваться тем фактом, что если числа равны, то равны и обратные им числа. (4х-58)/10 = 49. И т.д. Ответ 108 Для решения ниже приведённых уравнений нужно привести обе части к виду степени одного и того же основания, воспользовавшись свойствами степеней. 2^(4х-14) = 1/64 . 2^(4х-14) = 2^(-6) ; 4х – 14 = -6 ; 4х = 8; х = 2 Ответ 2 (〖1/3)〗^(4х-12) = 1/81; (〖1/3)〗^(4х-12) = 〖(1/3)〗^4; 4х – 12 = 4; 4х = 16. Ответ: 4 〖(1/5)〗^(10-3х) = 25. 〖 5〗^(-(10-3х)) = 52 ; – 10 + 3х = 2; 3х = 12; х = 4. Ответ: 4 〖81〗^(х-3) = 1/3 . 〖(3^4)〗^(х-3) = 3-1 ; 4(х – 3) = – 1; 4х – 12 = - 1; 4х = 11; х = 3,75 Ответ: 3,75 〖(1/49)〗^(х-8) = 7. 〖(7^(-2))〗^(х-9) = 71; –2(х – 8) = 1; –2х + 16 = 1; 2х = 15; х = 7,5 Ответ: 7,5 Для решения ниже приведённого уравнения нужно в левой части уравнения вынести за скобки степень с меньшим показателем. При вынесении множителя за скобки выполняется деление. При делении степеней с равными основаниями показатели вычитаются. 5∙2^(х+3) –4∙2^(х-1) = 9,5. 2^(х-1) ∙ (5∙2^4 –4) = 9,5; 2^(х-1) ∙ (80 –4) = 9,5; 2^(х-1) ∙ 76 = 9,5; 2^(х-1) = 95/(10∙76) ; 2^(х-1) = 1/8; т.к. 1/8 = 2- 3 , то х – 1= - 3; х = -2 Ответ –2 log_(1/8)⁡〖(3-х)〗 = – 2. т.к. 1/8 = 8–1, то 〖-log〗_8⁡〖(3-х)〗 = –2, log_8⁡〖(3-х)〗 = 2. По основному логарифмическому тождеству 3–х = 82, х = – 61 Ответ: –61 log_8⁡〖(х+4)〗 = log_8⁡〖(2х-6)〗 . В силу монотонности функции y = 〖log〗_a⁡x х + 4 = 2х – 6, если 2х > 6, т.е. х > 3, тогда х = 10. Это число удовлетворяет условию существования уравнения. Ответ: 10. log_3⁡〖(14 -х)〗 = 〖2log〗_3⁡5. log_3⁡〖(14-х)〗 = log_3⁡〖5^2 〗 , 14 – х = 25, х = - 11. Ответ -11 log_0,5⁡〖(3х+0,5)〗 + log_0,5⁡〖(х-2)〗 = – 2 Область определения уравнения (ООУ) {█(3х+0,5 >0@х-2>0)┤ т.е. х > 2. 1/2 = 2- 1, log_0,5⁡t = -log_2⁡t. 〖-log〗_2⁡〖(3х+0,5)〗 -log_2⁡〖(х-2)〗 = –2. По свойству логарифмов -log_2⁡〖((3х+0,5)∙(〗 х-2)) = –2. По основному логарифмическому тождеству (3х+0,5)(х-2) = 22. 3х2 – 5,5х – 1 = 4, 3х2 – 5,5х – 5 = 0 . Дискриминант равен 30,25 + 4∙3∙5 = 90,25 = 9,52. Корни уравнения (х= (5,5-9,5)/(2∙3))¦(х= (5,5+9,5)/(2∙3)) (х= ( -4)/6)¦(х= (15 )/( 6)) (не удовлетворяет ООУ )¦(х=2,5). Ответ: 2,5 Задание 4. Соотношения сторон и углов в треугольнике ( тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике). Для решения этих задач необходимо знать определения тригонометрических функций для острых углов прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество и теорему Пифагора, формулы нахождения площади треугольника Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. sin⁡В = АС/АВ. Тогда СА = АВ∙ sin⁡В Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. cos⁡В = ВС/АВ. Тогда СВ = АВ∙ cos⁡В Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. tg B = АС/CВ. СА = CВ∙ tg B sin B = cos A sin 2t + cos 2t = 1 Основное тригонометрическое тождество следует из теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. АВ2 = АС2 + СВ2 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 16, а cos A = (3√7)/8 . Найдите высоту ВН, проведенную к основанию. В прямоугольном треугольнике АВН АВ – гипотенуза, ВН – противолежащий катет, АН – прилежащий катет. Обозначим ВН= h, AH = x. Решение. 1 способ (теорема Пифагора). По определению косинуса cos A = BH/AB = h/AB, тогда х = 16 ∙ (3√7)/8 = 6√7 По теореме Пифагора AB2 = h2 + x2. 162 = h2 + (6√7)2. h2 = 162 – 36 ∙7 = 256 – 252 = 4. h = 2 2 способ (основное тригонометрическое тождество). sin2A + cos2A = 1, тогда sin2 A = 1 – cos2 A = 1– 63/64 = 1/64. sin A = 1/8. sin A = h/AB. h = 16 ∙ 1/8 = 2 Ответ: 2 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 2, а высота, проведенная к основанию, равна . Найдите cos A По определению синуса sin A = BH/AB = √3/2, тогда угол А равен 60°, тогда косинус угла А равен 0,5. Ответ: 0,5 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB= 16, , AC=8√3 . Найдите sin A. АВ – гипотенуза, АС – прилежащий катет. cos A = (8√3)/16 = √3/2 . тогда угол А равен 60°, тогда синус угла А равен 0,5. Ответ: 0,5 В треугольнике ABC угол C равен 90° ,sin⁡А = 3/8, AC = 2√55 . Найдите AB АВ – гипотенуза, АС – прилежащий катет, ВC – противолежащий катет. 1 способ (теорема Пифагора). По определению синуса sin A = BC/AB , тогда BC = 3/8 ∙ AB По теореме Пифагора AB2 = AC2 + ( ( 3)/8 ∙ AB )2. AB2 – 9/64AB2 = (2√55)2 . 55/64 AB2 = 220. AB2 = (220∙64)/55 = 4 ∙ 64. Извлечем корень квадратный из обеих частей равенства. AB = 16. 2 способ (основное тригонометрическое тождество). sin2A + cos2A = 1, тогда cos2 A = 1 – sin2 A = 1– 9/64 = 55/64. cos A = √55/8. По определению косинуса cos A = АС/AB, тогда АВ = АС/cos⁡A = (2√55)/(√55/8) = 16 Ответ: 16 В треугольнике ABC угол C равен 90° , cos B = 8/17 , AB=17 . Найдите AC. По определению косинуса cos B = BC/AB, тогда BC = AB ∙cos B = 17 ∙ 8/17 = 8 По теореме Пифагора АС2 = АВ2 – ВС2 = 172 – 82 = 225. АС = 15. Ответ: 15 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB= 45, AC=26 . Найдите tg A По теореме Пифагора ВС2 = АВ2 – АС2 = 452 – 362 = 9 ∙ 81. ВС = 27. По определению тангенса tg A = ВС/АС = 27/36 = 3/4 = 0,75 Ответ: 0,75 В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 16/23 , AC=√273 . Найдите AB. cos2 A = 1 – sin2 A = 1– (16/23)2 =(〖23〗^2- 〖16〗^2)/〖23〗^2 =((23-16)(23+16))/〖23〗^2 = (7 ∙39)/〖23〗^2 = 273/〖23〗^2 . cos A = √273/23. По определению косинуса cos A = АС/AB, тогда АВ = АС/cos⁡A = √273/(√273/23) = 23 Ответ: 23 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=18, sin A = 3/5 . Найдите BC. Треугольник АВС – египетский: прямоугольный и его стороны относятся как 3 : 4 : 5, тогда cos A= 4/5 = 0,8 . По определению косинуса cos A = АС/AB, тогда АВ = АС/cos⁡A = 18/0,8 =22,5 По определению синуса sin A = BC/AB , тогда BC = 3/5 ∙ AB= 0,6 ∙ 22,5 = 13,5 Ответ: 13,5 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB= 40 , cos B = 3/5 . Найдите AC Треугольник АВС – египетский: прямоугольный и его стороны относятся как 3 : 4 : 5, тогда sin B= 4/5. По определению синуса sin B = AC/AB , тогда AC = 4/5 ∙ AB = 0,8∙40 = 32 Ответ: 32 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=20. CB = 12. Найдите sin B. 12 = 3 ∙ 4, 20 = 5 ∙ 4, тогда треугольник АВС – египетский: прямоугольный и его стороны относятся как 3 : 4 : 5, причём катет АС = 4 ∙ 4 = 16. (Можете убедиться в этом с помощью теоремы Пифагора.) По определению синуса sin B = AC/AB = 16/20 = 0,8 Ответ: 0,8 В треугольнике ABC AC = BC, AB= 70 , cos A = 35/37. Найдите высоту CH. Треугольник АВС равнобедренный, высота к основанию является и медианой, тогда АН= НС = 35. По определению косинуса cos A = АH/AС = 35/AС = 35/37. АС = 37 . По теореме Пифагора СН2 = АС2 – АН2 = 372 – 352 = (37-35)(37+35) = 2 ∙ 72 = 144. СН = 12 Ответ: 12 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 35, BC = 28,. Найдите cos A. 28 = 7 ∙ 4, 35 = 7 ∙ 5, тогда треугольник АВС – египетский: прямоугольный и его стороны относятся как 3 : 4 : 5, причём катет АС = 7 ∙ 3 = 21. (Можете убедиться в этом с помощью теоремы Пифагора.) По определению косинуса cos A = АС/AB, тогда АВ = 21/35 = 3/5 = 0,6 Ответ: 0,6 В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, cos A = √143/12, BC = 1. Найдите AB. sin 2 A = 1 – cos 2 A = 1– 143/144 = 1/144. sin A = 1/12. sin A = ВС/AB. АВ = BC/sinA = 1/(1/12) = 12 Ответ: 12 В треугольникеABC угол C равен 90° CH — высота, AB = 5, sin A =0,6. Найдите BH sin A = BC/AB = cos B = 3/5 Треугольник АВС – египетский, катет ВС = 3 По определению косинуса соs B = BH/BC = 0,6 BH = BC ∙ cos B = 3 ∙ 0,6 =1,8 Ответ: 1,8 В треугольнике ABC AC = BC AB = 8, sin⁡A = 3/5. Найти высоту CH. Треугольник АВС равнобедренный, высота к основанию является и медианой, тогда АН = НВ = 4. Треугольник АНС – египетский: прямоугольный и его стороны относятся как 3 : 4 : 5, Причём cos A = 4/5 = AH/AC . Тогда АС = 5, а СН = 3 Ответ: 3 Острые углы прямоугольного треугольника равны 27° и 58°. Найти угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. Середина гипотенузы М является центром окружности, описанной около треугольника. Она удалена от вершин ∆ на расстояние радиуса, тогда ⊿AMC – равнобедренный и ∠A = ∠ACM = ∠HCB = 27°. ∠MCH = 90 – 27 – 27 - 36°. Ответ: 36 Задание 5. Задания с практическим содержанием, в которых требуется выбрать наиболее экономически выгодный вариант покупки материала, товара или услуги. Для этого нужно сравнить все предлагаемые варианты, которые рассчитываются по формулам: 1) расстояние равно произведению скорости на время; 2) стоимость равна произведению цены на количество, 3) вес(масса) груза равна произведению грузоподъёмности на количество рейсов или автомашин… Для транспортировки 30 тонн груза на 800 км. можно использовать одного из трех перевозчиков. Причем у каждого из них грузоподъемность используемых автомобилей разная. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку за один рейс? Перевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем (р. на 100 км) Грузоподъемность автомобилей (тонн) А 3200 р. 3,5 Б 4100 р. 5 В 9500 р. 12 1. Найдём количество рейсов, необходимое для перевозки груза. Это число должно быть целым, т.к. груз должен быть перевезён весь. Для этого массу груза делим на грузоподъёмность машин. Перевозчик Количество рейсов А 30: 3,5 = 8,57… 9 Б 30 : 5 = 6 6 В 30 : 12 = 2,5 3 2. Пробег каждого рейса составляет 8 тарифов(800: 100 = 8). Найдём стоимость перевозки всего груза, для этого перемножим количество тарифов , тариф и количество рейсов. Перевозчик Стоимость перевозки А 8 ∙ 3200 ∙ 9 = 230 400 Б 8 ∙ 4100 ∙ 6 = 196 800 В 8 ∙ 9500 ∙ 3 = 228 000 Ответ: 196 800 Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана. Тарифный план Абонентская плата Плата за трафик 1. План "0" Нет 2,5 р. за 1 Mb. 2. 550 р. за 500 Мb трафика в месяц 2 р. за 1 Mb сверх 500 Mb. 3. План "800" 700 р. за 800 Mb трафика в месяц 1,5 р. за 1 Mb сверх 800 Mb. Пользователь планирует, что его трафик составит 650 Mb и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Mb? Тарифный план Расчёт стоимость трафика в рублях Стоимость трафика План "0" 2,5 ∙ 650 = 1625 1625 План "500" 550 и сверх трафика 2 ∙ 150 = 300 850 План "800" Абонентская плата перекрывает трафик 700 Так как «План 800» не предполагает перерасчёта за неиспользованное время, то плата взимается целиком. Ответ : 700 Для изготовления книжных полок требуется заказать 36 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25м2. В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ? Стоимость стекла (руб. за 1 ) Резка и шлифовка (руб. за одно стекло) Фирма 415 75 430 65 Б 465 60 В Найдем всю требуемую площадь стекла 0,25 ∙ 36 = 9 м2 Фирма Стоимость стекла Резка и шлифовка тариф, умноженный на количество стёкол Стоимость всего заказа А 415 ∙ 9 = 3735 36 ∙ 75 = 2700 3735 + 2700 = 6435 Б 430 ∙ 9 = 3870 36 ∙ 65 = 2340 3870 + 2340 = 6210 В 465 ∙ 9 = 4185 36 ∙ 60 = 2160 4185 + 2160 = 6345 Ответ: 6 210 Для остекления веранды требуется заказать 28 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 . В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ? Фирма Стоимость стекла (руб. за 1 ) Резка стекла (руб. за одно стекло) A 300 17 Б 320 13 В 340 8 или бесплатно, если сумма заказа превышает 2500 рублей. Найдем всю требуемую площадь стекла 0,25 ∙ 20 = 5 м2 Фирма Стоимость стекла Резка и шлифовка тариф, умноженный на количество стёкол Стоимость всего заказа А 300 ∙ 5 = 1500 20 ∙17 = 340 1500 + 340 = 1840 Б 320 ∙ 5 = 1600 20 ∙ 13 = 260 1600 + 260 = 1860 В 340 ∙ 5 = 1700 20 ∙ 8 = 160 1700 + 160 = 1930 Ответ: 1 840 Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 700км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант? Автомобиль Топливо Расход топлива на 100 км Арендная плата за 1 сутки 1. Дизельное 7 3700 2. Бензин 10 3200 3. Газ 14 3200 Цена дизельного топлива 19 р. за литр, бензина 22 р. за литр, газа 14 р. за литр Автомобиль Стоимость топлива Арендная плата Стоимость всего заказа 1 19 ∙ 7 ∙ 7 = 931 3700 3700 + 931 = 4631 2 22 ∙ 10 ∙ 7 = 1540 3200 3200 + 1540 = 4740 3 14 ∙ 14 ∙7 = 1372 3200 3200 + 1372 = 4572 Ответ: 4 572 Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. Тарифный план Абонентская плата Плата за 1 минуту разговора Повременный 135 р. в месяц 0,3 р. Комбинированный 255 р. за 450 минут в месяц Свыше 450 минут в месяц — 0,28 р. за каждую минуту. Безлимитный 380 р. 0 р. Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая длительность телефонного разговора составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 мин? Ответ дайте в рублях. Тарифный план Стоимость разговоров Стоимость услуг компании: абонентская плата в сумме с оплатой разговоров Повременный 0,3 ∙ 700= 210 135 + 210 = 345 Комбинированный 0,28 ∙ 250 = 70 255 + 70 = 325 Безлимитный 380 Ответ: 325 Семья из трех человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд стоит 760 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 13 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 17,5 руб. за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих? Стоимость поездки поездом : 760 ∙ 3 = 2280 Стоимость поездки на автомобиле : (700 : 100) ∙ 13 ∙ 17,5 = 1592,5 Ответ : 1 592,5 Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса. У неё есть 3 поставщика. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой? Цены и условия доставки приведены в таблице. Поставщик Цена 1м3 бруса в руб. Стоимость доставки Дополнительные условия A 4200 10 200 Б 4800 8 200 При заказе на сумму больше 150000 р. доставка бесплатно В 4300 8 200 При заказе на сумму больше 200000 р. доставка бесплатно Решение Поставщик Стоимость бруса Стоимость всего заказа А 4200 ∙ 40 = 168 000 168 000 + 10 200 = 178 200 Б 4800 ∙ 40 = 192 000 192 000 В 4300 ∙ 40 = 172 000 172 000 + 8 200 = 180 200 Ответ : 178 200 Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 5 кубометров пеноблоков и 3 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 5 тонн щебня и 50 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2500 рублей, щебень стоит 650 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 190 рублей. Сколько рублей придется заплатить за материал, если выбрать самый дешевый вариант? Фундамент бетонный фундамент из пеноблоков Стоимость щебня 650 ∙ 5 = 3250 Стоимость пеноблоков 2500 ∙ 5 = 12 500 Стоимость цемента 190 ∙ 50 = 5700 Стоимость цемента 190 ∙ 3 = 570 Стоимость заказа 3250 + 5700 = 8 950 Стоимость заказа 12500 + 570 = 13 070 Ответ : 8 950 От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое приходится затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах. 1 2 3 Автобусом От дома до автобусной станции — 20 мин Автобус в пути: 2 ч 20 мин. От остановки автобуса до дачи пешком 10 мин. Электричка От дома до станции железной дороги — 15 мин. Электричка в пути: 1 ч 40 мин. От станции до дачи пешком 50 мин. Маршрутное такси От дома до остановки маршрутного такси — 15 мин. Маршрутное такси в дороге 1 ч 25 мин. От остановки маршрутного такси до дачи пешком 75 минут Найдём время, затраченное на дорогу, для каждого способа движения. Способ Время в пути Автобусом 20 мин + 2 часа 20 мин + 10 мин = 2 час 50 мин Электричкой 15 мин + 1 час 40 мин + 50 мин = 2 часа 45 мин Такси 15 мин + 1 час 25 мин + 75 мин = 2 часа 50 мин Нужно перевести минуты в часы. 45мин = 3/4 часа = 0,75часа Ответ : 2,75 Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 35 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 30 км/ч. Третья дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 40 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам. Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге. Путь Расстояние км Скорость км/ч Время ч ACD 75 30 75 : 30 = 2,5 AD 60 40 60 : 40 = 1,5 Ответ: 1,5 ABD 70 35 70 : 35 = 2 Задание 6. Площади плоских фигур. Для решения заданий этого блока необходимо а)знать формулы площадей плоских фигур (возможно, все для данной фигуры), б)уметь выражать радиусы вписанной и описанной окружностей через стороны многоугольника и наоборот, в)уметь пользоваться свойством равносоставленности площадей. квадрата Прямо угольника Параллелограмма ромба треугольника трапеции S = a2 = d^2/2 S = a∙b, где a и b его стороны S = a∙h, где a -основание, h – высота S = a∙ b∙ sin ((a;b) ̂) S =(d1∙d2)/2 S = 1/2 a∙h, где a основание, h – высота. = 1/2 a∙ b∙ sin ((a;b) ̂) S = 1/2 a∙b, где a и b катеты. S = (a+b)/2 ∙h, где a и b основания, h – высота. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображены фигуры. Найдите площадь каждой из фигур в квадратных сантиметрах. Основания данной трапеции равны 2 и 5, а высота равна 4. Площадь равна (2+5)/2 ∙ 4= 14. Ответ : 14 a = 6, h = 3 S = 1/2 ∙6∙3 = 9 Ответ : 9 Достроим треугольник до прямоугольника и из его площади вычтем площади «лишних» треугольников: 1, 2 и 3 Sпрям. = 5 ∙ 6 = 30 S1 = 1/2 ∙ 4 ∙ 4 = 8, S2 = 1/2 ∙ 1 ∙ 6 = 3, S3 = 1/2 ∙ 3 ∙ 5 = 5. Sиск. = 30 – (8 + 3 + 5) = 14 Ответ: 14 В ответе запишите S/π. Площадь круга вычисляется по формуле S = π∙ r^2 Заштрихованная фигура является круговым сектором с углом, равным 225⁰, что составляет 5/8 окружности, радиус которой равен 3. S/π = (5/8 π〖•3〗^2)/π = 45/8 = 5,625. Ответ : 5,625 Действия с векторами в координатной форме. Скалярное произведение векторов. Длина вектора. a ⃗ ∙ b ⃗ = |a ⃗|∙|b ⃗|∙ cos ((a ⃗;b ⃗)) ̂. cos ((a ⃗;b ⃗)) ̂= (a ⃗ ∙ b ⃗)/(|a ⃗|∙|b ⃗|) . | a ⃗ | = √(a ⃗^2 ) В координатной форме эти формулы имеют вид: a ⃗{x1;y1}. b ⃗{x2;y2} a ⃗ ∙ b ⃗ = x1 ∙ x 2 + y1 ∙ y 2. Скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат. | a ⃗ | = √(〖x1〗^2+〖y1〗^2 ) Модуль(длина) вектора равна корню из суммы квадратов координат cos ((a ⃗;b ⃗)) ̂= (x1 ∙ x 2 + y1 ∙ y 2)/(√(〖x1〗^2+〖y1〗^2 ) √(〖x2〗^2+〖y2〗^2 )) Найти скалярное произведение векторов a ⃗ и b ⃗ Найти угол между векторами a ⃗ и b ⃗ (ответ дайте в градусах) Найти квадрат длины вектора a ⃗ + b ⃗ Найти разность координат вектора a ⃑ – b ⃑ Найти угол между векторами a ⃗ и b ⃗ Ответ 40 45 200  8 Найдём координаты векторов a ⃗ и b ⃗, для этого из координат конца вектора вычтем соответствующие координаты его начала. a ⃗{4  2;10  4} и b ⃗{10  2;6  2} тогда a ⃗{2;6} и b ⃗{8;4}, (a ⃗ + b ⃗){ 10; 10} a ⃗ ∙ b ⃗ = 2∙ 8 + 6 ∙ 4 = 40 cos ((a ⃗;b ⃗)) ̂= (2 ∙ 8 + 6 ∙ y4)/(√(2^2+6^2 ) √(8^2+4^2 )) = 40/(√(4+36)∙√(64+16)) = 40/(√40∙√80) = 1/√2 = cos 45⁰. Значит, угол равен 45° | a ⃗ + b ⃗ |2 = 〖10〗^2+〖10〗^2= 200 (a ⃗  b ⃗){  6; 2}разность координат этого вектора равна – 6 – 2 = 8 Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол этими сторонами ними равен 150 Sтреуг = 1/2 8∙ 12 sin 150⁰= 48 ∙ 0,5 = 24 Ответ: 24 Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 и 10, а угол между ними равен 30⁰. Sпар = 8∙ 10∙ sin 30⁰= 80∙0,5 = 40 Ответ: 40 Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости Для нахождения площади заштрихованной фигуры нужно из площади большого квадрата вычесть площадь малого квадрата. Считать по второй формуле, т.к. диагонали четко видны на чертеже: большая равна 8, а малая – 4. Sиск. = 8^2/2  4^2/2 = 24. Ответ: 24 Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (10;6), (2;8) a = 9, h = 2 S = 1/2 9∙2 = 9 Ответ : 9 Расстояние между точками, заданными с помощью координат, равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноимённых координат. AB= √(〖(xA-xB)〗^2+〖(yA-yB)〗^2 ) Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (9;2), (1;6), (0;4). Вычислим по теореме Пифагора длины сторон прямоугольника и перемножим найденные числа. Одна сторона равна √(8^2+4^2 )= √80, другая – √(1^2+2^2 )= √5, S = √80 ∙ √5 = 20 Ответ: 20 Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6). Ответ: 8 Фигура является ромбом. По теореме Пифагора найдем длины её диагоналей. Большая равна √(〖(10-6)〗^2+〖(7-3)〗^2 ) = √(16+16) = √32 Малая равна √(〖(9-7)〗^2+〖(4-6)〗^2 ) = √(4+4) = √8 S= (d1∙d2)/2. S = (√32 √8)/2 = √(16∙2∙8)/2 = 8 Если вы не хотите использовать приведённые методы решения, то можете перечертить фигуры на клетчатую бумагу и воспользоваться свойством равносоставленности площадей, как было показано выше, т.е. достроить до фигуры с легко узнаваемой и вычисляемой площадью. Достроенная фигура – квадрат, со стороной, равной 4. Его площадь равна 16. Вычтем из неё 4 площади треугольника (1)и 2 площади маленького квадрата(2). S1= (1∙3)/2 = 1,5. S2 = 1 Sиск = 16 – (4∙1,5 + 2∙ 1) = 16 – 8 = 8 Если фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон медиан, высот, биссектрис, периметров. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза? Коэффициент подобия равен 2, его квадрат равен 4. Ответ: 4 Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника S/18 = (〖5/3)〗^2 . S = (18 ∙25)/9 = 50. Ответ: 50 Длина дуги l = ("" ∙R∙α)/180 . Площадь сектора Sсект = ("" ∙R^2∙α)/360 = (R∙l)/2. Найдите площадь сектора круга радиуса 1/√("" ∙) , центральный угол которого равен 90 Sсект = ("" ∙〖(1/√("" ∙))〗^2∙90)/360 = 0,25 Ответ: 0,25 Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2 Sсект = (1^2∙2)/2 = 1 Ответ: 1 Задание 7. Нахождение значения выражения или вычисление (степени, корни, логарифмы, тригонометрические выражения). Вычислить: (√(4&4-2√3) •√(4&4+2√3))/√(1/2) = ∜((4-2√3)(4+2√3))/(1/√2) = √2 ∙ ∜(4^2- 〖(2√3)〗^2 ) = = √2 ∙ ∜(16-4∙3) = √2 ∙ ∜4 = √2 ∙ √2 = 2 Ответ : 2 Вычислить: 4^(2,5) –〖(( 1)/9 )〗^(-1,5) + 〖( 5/4 )〗^(3,5)٠(0,8)^(3,5) = 〖(2^2)〗^(2,5) – 〖(3^(-2))〗^(-1,5) + 〖(5/4 ∙0,8)〗^3,5 = = 2^5 – 3^3 + 13,5 = 32 – 27 + 1 = 6 Ответ : 6 Вычислить 9^〖1,5- log〗_3⁡6 = 〖(3^2)〗^(1,5)/〖(3^2)〗^〖log〗_3⁡6 = 3^3/3^(2 〖log〗_3⁡6 ) = 27/3^log_3⁡〖6^2 〗 = 27/36 = 3/4 Ответ : 0,75 Вычислить 4^(1,5-〖log〗_16⁡25 ) = 4^1,5/4^log_16⁡25 = 〖(2^2)〗^1,5/4^log_(4^2 )⁡〖5^2 〗 = 2^3/4^(2/2 log_4⁡5 ) = 8/5 Ответ : 1,6 Вычислите 〖49〗^(log_7⁡4-log_49⁡64 ) = 〖(7^2)〗^log_7⁡4 /〖49〗^log_49⁡64 = 7^(2 log_7⁡4 )/64 = 7^log_7⁡〖4^2 〗 /64 = 16/64 = 1/4 Ответ : 0,25 Вычислить 5 sin2 + 2 cos2 α, если cos α = –0,1. sin 2α + cos 2α = 1, тогда sin 2 α = 1 – cos 2α = 1–0,01=0,99. 5sin 2α + 2cos 2α = 2(sin 2α+ cos 2α) + 3sin 2α = 2 + 3∙ 0,99 = 4,97 Ответ : 4,97 Вычислить log2 cos 5π/12 + log2 cos π/12 – log2 sin 5π/6 = log_2⁡〖(cos 5π/12 ∙ sin 5π/12)/(sin 5π/6)〗= = log_2⁡〖(cos 5π/12 ∙ sin 5π/12)/(2cos 5π/12 ∙ sin 5π/12)〗 = log_2⁡〖1/2〗 = –1 Ответ : – 1 4sin 2 2x + 4cos 2 2x –9 = 4(sin 2 2x + cos 2 2x ) – 9 = 4 – 9 = – 5 Ответ : – 5 Найти значение выражения = log_13⁡〖(8/169)/8〗 = log_13⁡〖〖13〗^(-2) 〗 = –2 Ответ: -2 Вычислить √2/2 sinα – sin(α+ π/4) , если α = π/4 . √2/2 sin π/4 – sin (π/4+π/4 ) = √2/2 ∙ √2/2 + sin π = 2/4 – 0 = 0,5 Ответ : 0,5 Вычислить 〖81〗^log_9⁡√19 -7^log_49⁡64 = 〖(9^2)〗^log_9⁡〖〖19〗^0,5 〗 – 〖(7)〗^log_(7^2 )⁡〖8^2 〗 = = 9^(2∙0,5 log_9⁡6 ) – 7^log_(7^2 )⁡〖8^2 〗 = 9^log_9⁡19 - 7^(2/2∙log_7⁡8 ) = 19 – 8 = 11 Ответ : 11 Упростить выражение log_2⁡log_3⁡9 – log_3⁡log_2⁡8 = log_2⁡log_3⁡〖3^2 〗 – log_3⁡log_2⁡〖2^3 〗 = log_2⁡〖〖(2log〗_3⁡3)〗 – 〖log_3 (3〗⁡log_2⁡〖2)〗 = log_2⁡2 – log_3⁡3 = 1 – 1 = 0 Ответ : 0 Вычислить = (log_5⁡42-log_5⁡6) ∙ log_(7^(1/2) )⁡〖5^3 〗 = = log_5⁡〖42/6〗 ∙ 3/(1/2)∙ log_7⁡5 = 6 ∙ log_5⁡7 ∙ log_7⁡5 = 6 ∙ log_7⁡〖5^log_5⁡7 〗 = 6 Ответ : 6 log_7⁡8 ∙ log_8⁡49 = log_7⁡〖8^log_8⁡49 〗 = log_7⁡49 Ответ : 2 75 ∙ log_11⁡√(5&11) = 75 ∙ log_11⁡〖〖11〗^(1/5) 〗 = 75 ∙ 1/5 = 15 Ответ : 15 4^8 ∙ 〖11〗^10 : 〖44〗^8 = (4^8∙〖11〗^10)/(4^8∙ 〖11〗^8 ) = 〖11〗^2 = 121 Ответ : 121 log_6⁡√13/log_6⁡13 = 〖log〗_6⁡〖〖13〗^(0,5) 〗/〖log〗_6⁡13 = (0,5 〖log〗_6⁡13)/〖log〗_6⁡13 = 0,5 Ответ : 0,5 log_16⁡log_6⁡36 = log_16⁡log_6⁡〖6^2 〗 = log_(2^4 )⁡〖(2log〗_6⁡〖6)〗 = 1/4 log_2⁡2 = 0,25 Ответ : 0,25 log_6⁡234 – log_6⁡6,5 = log_6⁡〖234/6,5〗 = log_6⁡36 = 2 Ответ : 2 8 ∙ 8^log_(8 )⁡6 = 8 ∙ 6 = 48 Ответ : 48 56/6^log_6⁡7 = 56/7 = 6. Ответ : 6 log_(1/8)⁡√8 = log_(8^(-1) )⁡〖8^0,5 〗 = 0,5/(-1) = –0,5 Ответ : –0,5 log_3⁡6,75 + log_3⁡4 = log_3⁡〖(6,75 ∙4)〗 = log_3⁡27 = 3 Ответ : 〖log〗_5⁡8/〖log〗_25⁡8 = log_5⁡8/log_(5^2 )⁡8 = log_5⁡8/〖1/2 log_5〗⁡8 = 2 Ответ : 2 √(〖65〗^2-〖56〗^2 ) = √((65+56)(65-56)) = √(121∙9) = 11∙3 = 33 Ответ : 33 3^(√(5 )+ 10) ∙ 3^(-5-√5) = 3^(√5+ 10- 5- √5) = 3^5 = 243 Ответ : 243 〖(2√7)〗^2/14 = (4 ∙7)/14 = 2 Ответ : 2 Найдите значение выражения (x^(-5)∙x^7)/x^0 при x = 4. (x^(-5)∙x^7)/x^0 = x^(-5+7-0) = x^2. 42 = 16 Ответ : 16 Задание 8. Применение производной к исследованию свойств функции, геометрический смысл производной». На рисунке изображен график производной функции , заданной на отрезке [-5; 6]. Укажите число промежутков возрастания функции. Производная возрастающей функции положительна. На графике заливкой выделено три промежутка, на которых производная положительна, т.е. график производной распложен выше оси абсцисс. Ответ : 3 На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на промежутке (–6;7). А. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные параллельны прямой у = 3 + х. Б. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент. А. Значение производной функции в точке с заданным аргументом равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с указанной абсциссой. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой у = 3 + х равен 1. Ответ : 2 Прямая у = 1 пересекает график производной в двух точках (крайняя левая точка выколота), тогда касательные к графику функции параллельны прямой у = 3 + х в двух точках. Б. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой равен значению производной функции в точке с указанным аргументом. Самое большое значение(ордината самой высокой точки графика), принимаемое производной, соответствует точке с абсциссой, равной 5. Ответ : 5 Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку хо, в которой функция y = f (x) принимает наименьшее значение. На промежутке ( –5; 2) производная функции отрицательна (её график расположен ниже оси абсцисс), значит, на этом промежутке функция убывает. На промежутке ( 2; 5) производная функции положительна, значит, на этом промежутке функция возрастает Тогда наименьшее значение функция принимает в точке хо = 2. Ответ : 2 К графику функции y = f (x) в точке с абсциссой xo = – 1 проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент, если на рисунке изображен график производной этой функции. y = f ´(x) На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xo. Найдите значение производной функции f(x) в точке xo. А. Б. Значение производной функции в точке с абсциссой x = x0 ( f´(x0) ) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с этой абсциссой, который в свою очередь равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету треугольника, чьи габариты чётко видны на чертеже. При этом если угол острый, то его тангенс положительный, а если угол тупой, то тангенс - отрицательный. Угол определяется против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. На рисунках выделен треугольник, образованный касательной с вершинами в узлах клеток. А. В выделенном треугольнике острый угол образован в отрицательном (по часовой стрелке) направлении, значит, значение производной отрицательно. Противолежащий катет имеет длину, равную 2, прилежащий катет имеет длину, равную 8. f´(x0) = – 2/(8 ) = – 0,25 Ответ : – 0,25 Б. В выделенном треугольнике острый угол образован в положительном (против часовой стрелки) направлении, значит, значение производной положительно. Противолежащий катет имеет длину, равную 2, прилежащий катет имеет длину, равную 8. f´(x0) = 2/(4 ) = 0,25 Ответ : 0,25 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (– 13;5). A. Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке . Б. Укажите точку максимума. Производная функции непрерывна и принимает нулевые значения в точках – 9; – 7 и – 4. Но только в точках – 9 и – 4 знак её значения меняется с ” – “на ’’ + ‘’. Т.е. в этих двух точках функция достигает минимума. Ответ: 2 В точке –7 знак производной меняется с ” + “ на ” – “, значит, точка максимума равна – 7 Сверху в качестве иллюстрации показано изменение характера монотонности функции . На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Производная возрастающей функции положительна, точки её графика расположены выше оси абсцисс. На рисунке выделены промежутки возрастания функции. Целые числа, принадлежащие этим промежуткам 0,1,2,3,4,5,6,9,10. Сумма этих чисел равна 34. Число –1 не принадлежит промежутку(точка выколота). Ответ: 34 Задание 9. В задачах этого блока нужно находить площади поверхностей ( полной или боковой) и объёмы геометрических тел. Для их решения необходимо знать ~ формулы, по которым рассчитываются площади и объёмы, ~ сопоставлять эти формулы, ~ выражать нужные величины с помощью алгебраических преобразований . Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 4 Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется умножением длин трёх рёбер, исходящих из одной вершины. Основанием является квадрат, сторона которого равна диаметру основания цилиндра, т.е равна 2 . V = 2 ∙ 2 ∙ 1= 4 Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его объем. Ответ: 8 Высота параллелепипеда равна диаметру сферы, т.е. 2. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого равна диаметру сферы, т.е. 2. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется умножением длин трёх рёбер, исходящих из одной вершины. V = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Многогранник разбивается на две части, каждая из которых является прямоугольным параллелепипедом. Разбить многогранник можно горизонтальной (1) или вертикальной (2) плоскостями. Тогда длины рёбер ( назовём их условно длина, глубина, высота) равны: (1) 3 ; 1; 2 и 2 ; 1 ; 1 (2) 2 ; 1; 3 и 1 ; 1 ; 2 Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется умножением длин трёх рёбер, исходящих из одной вершины. Объём равен сумме объемов частей. 1) 3 ∙ 1 ∙ 2 + 2 ∙1 ∙ 1 = 8 2) 2 ∙ 1 ∙ 3 + 1 ∙1 ∙ 2 = 8 Ответ: 8 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Формула вычисления объёма призмы V = Sосн ∙ H. Объём воды при переливании не изменился. Vдан. = Vполуч. У второго сосуда основанием является треугольник, подобный основанию данной призмы. Коэффициент подобия равен 4. Отношение площадей подобных фигур, равно квадрату коэффициента подобия. Sдан ∙ 80 = 42∙ Sдан ∙ Hполуч.. Тогда Hполуч = 80 : 16 = 5 Ответ: 5 В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 5/π. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ: 125 Объём цилиндра равен V = Sосн ∙ h = π 〖∙R〗^2 ∙ h Рассмотрим снование цилиндра и призмы. Гипотенуза треугольника, является диаметром окружности Центр окружности лежит в середине гипотенузы. По теореме Пифагора гипотенуза равна 10. Радиус окружности равен 5. V = π 〖∙5〗^2 ∙ 5/π = 125 Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 23. Ответ: 69 Объём цилиндра вычисляется по формуле V = Sосн ∙ h. Объём конуса вычисляется по формуле V = 1/3 ∙ Sосн ∙ h Площадь основания цилиндра и конуса, вычисляется по формуле S = πR^2. Т.к. радиусы основания и высоты тел равны, то объём цилиндра в три раза больше объёма конуса. Объем конуса равен 32 Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, являющееся основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Объём конуса вычисляется по формуле V = 1/3 ∙ πR^2 ∙ h Радиус и высота отсеченного конуса в два раза меньше радиуса и высоты данного конуса, значит, его объём в 8 раз меньше данного объёма. Ответ: 4 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований. Sполная = Sбоковая + 2Sоснов Развёртка боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником, длина которого равна периметру основания, а высота равна высоте (третьему, искомому ребру) параллелепипеда. S = 2(a + b)∙h + 2ab 94 = 2(3 + 4 )h + 2∙ 3 ∙ 4 h = (94 : 2 – 12) : 7 = 5 Ответ: 5 Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов, площадь каждого из которых равна квадрату ребра куба. 18 = 6a2 Квадрат диагонали куба (по теореме Пифагора в пространстве) равен утроенному квадрату ребра куба d 2 = 3a2. Тогда d 2 = 9. d = 3. Ответ: 3 Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности Объём куба равен кубу его ребра: V = a3, тогда ребро куба равно 2. Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов, площадь каждого из которых равна квадрату ребра куба. S = 6 ∙ 22 = 24. Ответ: 24 Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на . Развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, длин а которого равна длине окружности основания (C = 2πR), а высота равна высоте цилиндра. S = 2∙ π ∙ 2 ∙ 3 = 12 π S/π = 12 Ответ: 12 Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара. Sбол кр = 2πR2 площадь большого круга шара Sшара = 4πR2 площадь поверхности шара Sшара = 2 ∙ 3 = 6 Ответ: 6 Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований. Sполная = Sбоковая + 2Sоснов Sбоковая = Pоснов ∙ h Развёртка боковой поверхности прямой призмы является прямоугольником, длина которого равна периметру основания, а высота равна боковому ребру призмы. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, каждый из получившихся треугольников является египетским, с гипотенузой , равной 5. Периметр ромба равен 20. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т.е. 24 S = 4∙ 5 ∙ 10 + 2 ∙ 24 = 248. Ответ: 248 Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба. Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов, площадь каждого из которых равна квадрату ребра куба. Sстар = 6a2 ; Sнов = 6(a + 1)2; Sстар – Sнов = 6(a + 1)2 – 6a2 = 54. Вынести общий множитель за скобки, сократить обе части уравнения и разложить формулу разности квадратов на множители. 6 ((a + 1)2 – a2) = 54. (a + 1 - a)(a + 1 + a) = 9; 2a + 1 = 9, a = 4 Ответ: 4 Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 2. Ответ: 24 Основание Сторона правильного треугольника связана с радиусом описанной окружности формулой R = (a√3)/3, тогда a = √3R. Периметр основания P =4а = 4√3 R S = P∙ h∙ S = 12∙2 = 24. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза? Площадь поверхности шара вычисляется по формуле S = 4πR2 Sшара стар = 4πR2 Sшара нов = 4π(2R)2 = 4 π ∙ 4R2 . Очевидно, что площадь поверхности данного шара больше площади поверхности получившегося шара в 4 раза. Ответ: 4 Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды боковая грань Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей граней. Все грани – равнобедренные треугольники, равные между собой. Площадь каждого из них равна половине произведения основания на высоту, являющуюся апофемой боковой грани. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, её длину можно найти по теореме Пифагора. См. выносной чертёж. S = 6∙ 1/2∙ 10∙ 12 = 360 Ответ: 360 Через среднюю линию основания треугольной призмы с площадью боковой поверхности, равной 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы. Отсеченная треугольная призма подобна данной, коэффициент подобия равен 1/2 . Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна 1/4 площади боковой поверхности данной призмы. Ответ: 6,75 Задание 10. Решение неравенств в задачах с практическим, физическим содержанием. Не следует пугаться предъявленных формул или конкретного содержания заданий. Алгоритм решения задач этого блока следующий: 1. Подставьте в формулу все данные значения переменных, участвующих в задании. Обратите внимание на то, что единицы измерения величин должны быть согласованы. 2. Переведите словесную формулировку вопроса задания на язык математики. (Замените слова «не больше» на символ « ≤ », слова «не меньше» на символ « ≥ ») 3. Основным методом решения неравенств является метод интервалов. В рассмотренных задачах приведен один из возможных путей решения. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 140 – 10p. Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q ∙ p составит не менее 480 тыс. руб Подставим в формулу значение q и заменим слова (не менее) на символ. r = (140 – 10p) ∙ p ; – 10p2 + 140p ≥ 480 . Решим неравенство методом интервалов. Перенесём все члены неравенства в одну сторону: –10 p2 + 140p – 480 ≥ 0 ; найдём корни соответствующего уравнения: –10 p2 + 140p – 480 = 0; p2 – 14p + 48 = 0 (коэффициенты поделены на - 10). Решите квадратное уравнение любым способом. Тогда р = 6 или р = 8. Требуется наиболдьший уровень цен. Ответ: 8 Модель камнеметательной машины, выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Её конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax2 + bx , где a = (-1)/15000 1/м, b = 1/15 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высоты 16 м нужно расположить машину, чтобы камни перелетали через неё? Значение переменной y выражает высоту камня над уровнем горизонта и оно должно быть не меньше 16. После подстановки данных в формулу получим: (-1)/(15000 ) x2 + 1/15 x ≥ 16. Умножим обе части неравенства на – 15 000, при этом смысл неравенства поменяется на противоположный. x 2– 1000x + 16 ∙ 15000 ≤ 0. Решим соответствующее уравнение x 2– 1000x + 240 000 = 0. Тогда х = 600 или х = 400. Ответ: 600 Обратите внимание на то, что в первой из рассмотренных задач в неравенстве старший коэффициент отрицательный и ветви стилизованной параболы направлены вниз, а во второй задаче, благодаря почленному умножению неравенства на отрицательное число 1) изменился знак неравенства 2) старший коэффициент стал положительным 3) ветви стилизованной параболы направлены вверх. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур даётся выражением T(t) = To + at + bt 2 , где To = 580K , a = 20 (K/мин), b = –0,2 (K/мин). Известно, что при температурах нагревателя свыше 1000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. После подстановки данных в формулу получим: 580+ 20t – 0,2t 2 ≤ 1000. Умножим обе части неравенства на – 5, при этом смысл неравенства поменяется на противоположный t2 –100t –2900 ≥ – 5000; t2 –100t +2100 ≥ 0. Решим соответствующее уравнение t2 –100t +2100 = 0. Тогда t = 70 или t = 30. Ответ: 30 Время неотрицательно. Через 30 минут прибор УЖЕ может испортиться, т.к. после 30мин. неравенство не выполняется. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой η = (T1 - T2)/(T1 ) ∙ 100% . При какой наименьшей температуре нагревателя T1 КПД этого двигателя будет не меньше 30%, если температура холодильника T2 = 350? После подстановки данных в формулу получим: (T1 - 350)/(T1 ) ∙ 100% ≥ 30%. Сократив обе части неравенства на 10% и умножив на Т1, получим (Т1 – 350)10 ≥ 3Т1. Знак неравенства не изменится, т.к. температура измеряется в градусах Кельвина. Тогда 7Т1 ≥ 3500. Т1 ≥ 500. Ответ: 500 В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R = 60 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в Омах) наименьшее возможное сопротивление Ry этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление даётся формулой, R = (Rx ∙ Ry)/(Rx+ Ry), а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не меньше 10 Ом. После подстановки данных в формулу получим: (60∙ Ry)/(60+ Ry) ≥ 10. Умножим обе части неравенства на 60 + Ry и разделим на 10. Знак неравенства не изменится, т.к. сопротивление неотрицательно. 6 Ry ≥ 60 + Ry, ; 5 Ry ≥ 6 ; Ry ≥ 12. Ответ: 12 Закон Стефана–Больцмана используют для определения эффективной температуры звёзд. Согласно закону мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P = σ∙ S∙T4 , где σ = 5,7∙ 10–8 – числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура - в градусах Кельвина, а мощность - в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = 1/16 ∙1016 , а излучаемая ею мощность P не менее 46,17∙1017, определите наименьшую возможную температуру этой звезды. После подстановки данных в формулу получим: 5,7∙ 10–8 ∙ 1/16 ∙1016 ∙ T^4 ≥ 46,17∙1017 T4 ≥ (46,17∙〖10〗^17)/(5,7∙〖10〗^(-8)∙ 1/16 〖 ∙ 10〗^16 ) ; T4 ≥ (46,17∙〖10〗^17∙16)/(5,7∙〖10〗^(-8) 〖∙ 10〗^16 ) ; T4 ≥ (16 ∙ 461,7∙〖10〗^17)/(57∙〖10〗^8 ) ; T 4 ≥ 16 ∙ 81∙10 8 ; T ≥ 2 ∙ 3∙102. Наименьшая температура равна 600°К. Ответ: 600 Груз маccой 0,08 кг колеблетcя на пружине cо cкороcтью, меняющейcя по закону v(t) = 0,5 sin(π∙ t), где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза (в Джоулях), вычисляется по формуле E = (mv^2)/2, где m - масса груза (в кг), v - скорость груза (в м/c). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 ∙ 10 – 3 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых. После подстановки данных в формулу получим: (0,08〖(0,5 sin⁡πt)〗^2)/2 ≥ 5∙ 10 – 3; т.к. 0,08 = 8∙ 10-2; 0,52 = 1/4 ; то (8∙ 〖10〗^(-2) 〖(sin⁡πt)〗^2)/(2∙4) ≥ 5∙ 10 – 3; сократим обе части уравнения на 10 – 2 sin 2πt ≥ 1/2; 2sin 2πt ≥ 1; по формуле половинного аргумента 1 – cos(2πt) ≥ 1; cos(2πt) ≤ 0; На единичной окружности покажем значения аргумента косинуса, удовлетворяющие неравенству π/2 ≤ 2πt ≤ 3π/2 ; разделим неравенство почленно на 2π; 1/4 ≤ t ≤ 3/4 . Найдем длину промежутка t = 3/4 – 1/4 = 0,5 . Ответ: 0,5 Скейтбордист прыгает на платформу, стоящую на рельсах, со скоростью v = 3 м/c под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает двигаться со скоростью u = m/(m+M) ∙v∙cosα (м/c), где m = 80 кг - маccа скейтбордиста cо cкейтом, а M = 400 кг - маccа платформы. Под каким макcимальным углом α(в радуcах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/c? После подстановки данных в формулу получим: 80/(80+400) ∙3∙cosα ≥ 0,25; т.е. 80/480 ∙3∙cosα ≥ 1/4; cosα ≥ 1/2 Иллюстрация решения неравенства на окружности определяет наибольшее значение аргумента косинуса равным π/3. Переведем радианы в градусы. Ответ: 60 Катер должен переcечь реку шириной L = 100м и cо cкороcтью течения u = 0,5 м/c так, чтобы причалить точно напротив меcта отправления. Он может двигатьcя c разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяетcя выражением t = L/u ctgα, где α - оcтрый угол, задающий направление его движения (отcчитываетcя от берега). Под каким минимальным углом α(в градуcах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 c? После подстановки данных в формулу получим: 100/0,5 ctgα ≤ 200 ; ctgα ≤ 1. Проиллюстрируем решение на окружности Наименьшее значение аргумента котангенса π/4 радиан. Переведем радианы в градусы. Ответ: 45 В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) =1,8 – 0,96t + 0,128t 2, где t - время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Т.е пока высота водяного столба не станет нулевой: 1,8 – 0,96t + 0,128t 2 = 0. В стандартном виде, почленно а) умножив на 1000 и б) разделив на 8, получим 128t2 – 960t + 1800 = 0 , 16t2 –120t + 225 = 0 ; (4t–15)2 = 0; t = 15/4 = 3,75 Ответ: 3,75 На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конcтрукция имеет форму cферы, а значит, дейcтвующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определятьcя по формуле: FA= αρg r3, где α = 4,2 - поcтоянная, r - радиуc аппарата в метрах, ρ = 1000 кг/м^3 - плотноcть воды, g - уcкорение cвободного падения (cчитайтеg=10 Н/кг). Каков может быть макcимальный радиуc аппарата, чтобы выталкивающая cила при погружении была не больше, чем 336000Н? Ответ выразите в метрах. После подстановки данных в формулу получим: 4,2∙1000∙ 10 r3 ≤ 336000 ; 42∙r3 ≤ 336; r3 ≤ 8; r ≤ 2. Ответ: 2 Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории иcпользуетcя cобирающая линза c главным фокуcным раccтоянием f = 30 cм. Раccтояние d1 от линзы до лампочки может изменятьcя в пределах от 30 до 50 cм, а раccтояние d2 от линзы до экрана - в пределах от 150 до 180 cм. Изображение на экране будет четким, если выполнено cоотношение 1/d1 + 1/d2 = 1/f . Укажите, на каком наименьшем раccтоянии от линзы можно помеcтить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в cантиметрах Задача отличается от остальных заданий блока. Она предполагает оценку условия (d2), а не результата (d1 ). Выразим компоненту условия, связанную с d2. 1/d2 = 1/f-1/d1 . Подставим данное значение f и пределы изменения d2. Заметим, что числа, обратные данным положительным числам, связаны неравенством противоположного смысла: 150 < 180, но 1/150 > 1/180. Поэтому 1/180 ≤ 1/30-1/d1 ≤ 1/150. Вычтем из всех трёх частей неравенства 1/30. 1/180- 1/30 ≤-1/d1 ≤ 1/150-1/30 ; выполним вычисления (-5)/180 ≤-1/d1 ≤ (-4)/150 . Выполним с двойным неравенством две операции, каждая из которых изменяет смысл неравенства на противоположный. умножим все три части неравенства на –1: 5/180 ≥ 1/d1 ≥ 4/150 2) в получившемся неравенстве с положительными членами перейдём к обратным величинам 180/5 ≤ d1 ≤ 150/4 , т.е. 36 ≤ d1 ≤ 37,5 Ответ: 36 По закону Ома для полной цепи cила тока, измеряемая в амперах, равна I = ε/(R+ r), где ε - ЭДС иcточника (в вольтах), r = 1 Ом - его внутреннее cопротивление, R - cопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем cопротивлении цепи cила тока будет cоcтавлять не более 20% от cилы тока короткого замыкания I кз = ε/( r) ? Ответ выразите в омах. I ≤ 0,2∙Iкз После подстановки данных в формулу получим: ε/(R+ r) ≤ 0,2∙ ε/( r) . Сократив на ε, получим 1/(R+ 1) ≤ (1 )/5 ∙ 1/1 ; 5 ≤ R +1 ; R ≥ 4 Ответ: 4 Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 2∙ 10-6 Ф. Параллельно c конденсатором подключен резистор c сопротивлением R = 5∙ 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе Uo = 16 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = αRClog2 Uo/U (c), где α = 0,7 - поcтоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 c? После подстановки данных в формулу получим: 0,7∙ 5∙ 106 ∙ 2∙ 10-6 ∙ log2 16/U ≥ 21 ; 7 ∙ log2 16/U ≥ 21 ; log2 16/U ≥ 3 ; 16/U ≥ 23 ; 16/8 ≥ U ; U ≤ 2 Ответ: 2 38. Для обогрева помещения, температура в котором равна Тп = 20°С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой Тв = 60°С . Расход проходящей через трубу воды m = 0,3 кг/c. Проходя по трубе раccтояние x (м), вода охлаждается до температуры T°C, причем x = α cm/γ ∙ log2 (Тв-Тп )/(T-Тп ) (м), где c = 4200Дж/(кг∙°С) - теплоёмкость воды, γ=21 Вт/(м∙ °С) - коэффициент теплообмена, а α = 0,7 - поcтоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м? После подстановки данных в формулу получим: 0,7∙ (4200∙0,3)/21 ∙ log2 (60-20)/(T-20) = 84 ; 42 ∙ log2 40/(T-20) = 84; log2 40/(T-20) = 2; 40/(T-20) = 4; T – 20 = 10; T = 30 Ответ: 30 Задание 11. Производная функции. Применение производной к исследованию свойств функции Таблица производных F(x) первообразная функции f(x )функция f´(x) производная функции 1 Сх + С1 C (число) C´= 0 2 kx+b (kx+b)´ = k 3 x^(p+1)/(p+1) + C x^p (x^p) ´ = p•x^(p-1) х (х)′ = 1 х2 (x2)′ = 2x √x (√x)′ = 1/(2√x) 4 〖- sin〗⁡〖(x〗) + C sin⁡〖(x)〗 (sin⁡〖(x)〗)´ = cos⁡〖(x)〗 5 cos⁡x + C cos⁡〖(x)〗 (cos⁡〖(x)〗)´ = 〖-sin〗⁡〖(x〗) 6 tg⁡〖(x)〗 〖(tg〗⁡〖(x)〗)′= 1/(〖cos〗^2 (x)) 7 ctg⁡〖(x〗) (ctg⁡(x))´= (-1)/(〖sin〗^2 (x)) 8 e^x + C e^x (e^x)´ = e^x 9 a^x/ln⁡a + C a^x (a >0; a≠1) (a^x )´ = a^x•ln⁡a 10 x•ln⁡x – x+ C ln⁡x (ln⁡x )´ = 1/x 11 log_a⁡x (log_a⁡x )´ = 1/(x ln⁡a ) tg⁡〖(x)〗 + C 1/(〖cos〗^2 (x)) 〖- ctg〗⁡〖(x)〗 + C 1/(〖sin〗^2 (x)) ln⁡x + C 1/x (1/x)´ = - 1/x^2 Правила дифференцирования. U(х) и V(х) , φ (фи) - функции аргумента х, k - число 1. (k •U)´ = k •U´ 2. ( U + V )´ = U ’ + V ’ 3. (U • V)’ = U’ • V + U • V’ 4. (U/V)' = (U ’ • V- U • V ’)/V^2 5. ( U(φ (x)))’ = U ’ (φ) • φ '(x) производная сложной функции, где U – внешняя функция, a φ - внутренняя. Геометрический смысл значения производной функции в точке. Значение производной функции в точке с абсциссой х = хо f´(xо) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с этой абсциссой, который в свою очередь равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету треугольника, чьи габариты чётко видны на чертеже. При этом если угол острый, то тангенс положительный, а если угол тупой, то тангенс - отрицательный. /Угол определяется против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс/ . Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y = f (x) в точке с заданной абсциссой xо. Найти значение функции в точке xо. y0 = f (xо) Найти производную функции y´ = f´(x) Найти значение производной в точке хо y´о = f´(xо) Подставить найдены числа в уравнение касательной у = y´о • ( х – xо) + yо или у = f´(xо) • ( х – xо) + f (xо) Найдите тангенс наклона касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в его точке с абсциссой (-1). y´ = 6 + 2/x^2 . y(–1)’ = 6 + 2 = 8 Ответ: 8 Найти ординату точки, в которой касательная к кривой y = x2 – x – 12 образует с осью ОХ угол 45° 1) найдём производную y´ = 2 x –1 2) найдём абсциссу точки, в которой производная равна тангенсу 45°. y´= tg 45° tg 45° = 1; 2x–1 = 1; 2x = 2; x = 1; 3) подставим найденное значение х в формулу, задающую функцию. y(1) = 12 –1 –12 = –12 Ответ: –12 Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции в точке A (–3;9). Найдите f ´(–3). y´(–3) равно значению углового коэффициента прямой, проходящей через точки (0;0) и (–3;9). Уравнение прямой имеет вид y = k x + b. Подставим в него координаты данных точек. 0 = k ∙ 0+b и 9 = k(–3)+b. Тогда b = 0, a k = –3. Уравнение прямой y = –3x . Угловой коэффициент –3 Ответ: – 3 Прямая y = 7x + 11 параллельна касательной к графику функции y = x2 + 8x +6. Найдите абсциссу точки касания. Угловой коэффициент данной прямой и касательной равен 7. 1) найдём производную y´ = 2 x + 8 2) найдём абсциссу точки, в которой производная равна 7. 2x + 8 = 7; x = – 0,5. Ответ: – 0,5 Прямая у = 3х + 4 является касательной к графику функции у = х3 + 4х2 + 3х +4. Найдите абсциссу точки касания. Отличие этой задачи от предыдущей состоит в том, что касательная к графику функции не параллельна некоторой прямой, а точно задана. Поэтому нужно найти и угловой коэффициент, и свободный член. Угловой коэффициент данной прямой и касательной равен 3. y´0 = 3. 1) найдём производную y´ = 3х2 +8 x + 3 2) найдём абсциссы точек, в которых производная равна 3. 3х2 +8 x + 3= 3; ⌈█(x=0@x= (-8)/3)┤ 3) найдём свободный член уравнения касательной . Он должен быть равным 4. Чтобы его найти преобразуем уравнение касательной. у = y´о• ( х – xо) + yо; y = y´о ∙ x – y´о ∙ xо + yо y = 3x – 3xо + yо. Для каждой найденной абсциссы вычислим значение функции и соответствующий свободный член. – 3x0 + y0 Если x=0, то у0 =0+4∙0+3 ∙0+4 = 4 ; – 3x0 + y0 = 3 ∙ 0 + 4 = 4 Если x= (-8)/3 , то у0 =(〖(-8)/3)〗^3+ 4 ∙ (〖(-8)/3)〗^2+ 3 ∙(-8)/3+4 ; – 3x0 + y0 ≠ 4. Очевидно. Ответ: 0 В следующих задачах применим теорию и алгоритмы. Производная возрастающей функции положительна в каждой внутренней точке промежутка возрастания. Производная убывающей функции отрицательна в каждой внутренней точке промежутка убывания. f(x) ↗ ⟺ f ´(x ) > 0 f(x) ↘ ⇔ f ´(x ) < 0 на промежутке 〈a;b〉 Точка х наз. точкой экстремума (максимума или минимума), если при переходе через нее слева направо знак производной меняется. Причём, если знак меняется с + на − , то хmax , если с − на + , то хmin . Значение производной функции в точке экстремума равно 0 или не существует. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции. Обозначается уmax Значение функции в точке минимума называется минимумом функции. ymin Алгоритм нахождения экстремумов. 1. Установить область определения функции 2. Найти производную функции 3. Найти критические и стационарные точки функции. Точки области определения, в которых производная не существует, наз. критические. Точки области определения, в которых производная равна нулю, наз. стационарные. 4. Нанести найденные точки на ось. Над осью методом интервалов отметить знак значения производной функции. Под осью отметить соответствующий характер монотонности функции. Например: Знак производной Характер монотонности Наличие и тип экстремума b – точка максимума а – точка минимума b – точка максимума 5. Чтобы найти экстремумы функции нужно подставить найденные точки экстремумов в заданную формулу функции. Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке [a;b] Найти значение функции на концах отрезка. Найти критические и стационарные точки функции, принадлежащие данному отрезку. Вычислить значение функции в этих точках. Среди получившихся чисел выбрать самое большое (самое маленькое). Найдите точку максимума функции у = ln ( x+ 12) – 10х + 11 . Функция определена при х > –12. Найдём производную функции y´= 1/(х+12) – 10; y´= (1-х-12)/(х+12); y´= (-х-11)/(х+12); y´= -(х+11)/(х+12) Найдём стационарные точки y´ = 0, если х + 11 = 0, х = – 11 Исследуем характер монотонности функции Точка максимума равна – 11 Ответ: – 11 Найдите точку минимума функции у = (3х2 – 15х +15)∙е х –15 . y´= (3∙2х –15)∙ е х –15 + (3х2 – 15х +15)∙е х –15; y´= (6х + 3х2 – 15х +15)∙е х –15 ; у´ = (3х2 – 9х)∙е х –15 . Найдём стационарные точки: т.к. е х –1 5> 0, то y´ = 0, если 3х2 – 9х = 0, тогда х = 0 или х = 3, Производная меняет знак с минуса на плюс в точке хо = 3 Ответ: 3 Найдите точку минимума функции у = (х + 6)2 ∙ е2 – х. Производную этой функции можно найти либо раскрыв скобки и применив правило дифференцирования произведения , либо применить правило дифференцирования произведения двух сложных функций 1. у = (х2 + 12х + 36) ∙ е 2 – х , y´= (2х +12)∙ е 2 – х + (х2 + 12х +36 )∙е 2 – х ∙(–1); 2. y´= 2∙ (х + 6 ) ∙ е2 – х + (х + 6 )2 ∙ е2 – х ∙ (–1); y´ = (2х +12 – х2 – 12х –36 )∙е 2 – х ; y´= (– х2 – 10х –24 )∙е 2 – х , y´= – (х2 + 10х +24 )∙е 2 – х Найдём стационарные точки: т.к. е 2 –х> 0, то y´ = 0, если х 2 + 10х +24 = 0, тогда х = – 6 или х = – 4. Производная меняет знак с минуса на плюс в точке хо = – 6 Ответ: – 6 . Найдите наименьшее значение функции y = x2 –3x + ln x +3 на отрезке [ ( 3)/4; ( 5)/4 ]. Функция определена при х > 0. y´= 2x – 3 + 1/x ; y´ = (2x^2-3x+1)/x . Найдём стационарные точки: y´ = 0, если 2x^2-3x+1= 0, тогда х = 1 или х = 0,5 Исследуем функцию по алгоритму, а потом сузим область исследования до указанного отрезка ymin = y(–1) y(–1) =12 – 3∙1 + ln1 +3 = 1 Из графической иллюстрации видно, что наименьшее значение функции и её минимум совпадают. Ответ: 1 Найдите наименьшее значение функции y = (x – 2)2 (x + 4) + 3 на отрезке [1; 3]. y´= 2( x-2)(x+4) + (x-2)2, y´= 2(x2-2x+4x-8)+x2-4x+4, y´= 3x2-12. Найдём стационарные точки : y´ = 0, если x = - 2 или x = 2 Исследуем характер монотонности функции по алгоритму + – + На отрезке [1; 3] функция имеет в точке х = 2 минимальное значение. ymin(2) = (2 – 2)2 (2 + 4) + 3 = 3. Оно же является наименьшим. Ответ: 3 Найдите наименьшее значение функции y = (x– 21)∙ e x–20 на отрезке [ 19; 20]. Воспользуемся правилами дифференцирования произведения функций, сложной функции и формулой производной показательной функции. y´= (x– 21)´∙ e x–20 + (x– 21)∙ (e x–20 )´∙ ( x– 20)´. При дифференцировании сложной функции (e x–20 ) производная внутренней функции (х – 20) равна 1. y´ = e x–20 + (x – 21)∙ e x–20 . Преобразуем получившееся выражение y´ = e x–20 ∙(1 + x – 21) ; y´ = e x–20 ∙ (x– 20) Т.к. e x–20 > 0, то знак у´ совпадает со знаком выражения х – 20 На отрезке [19;20] функция убывает и имеет наименьшее значение на правом конце. y(20) = (20 – 21) e20-20 = –1 Ответ: – 1 Найдите наибольшее значение функции y = 12√2 cos x + 12x – 3π + 9 на отрезке [0; π/2]. y´= –12√2 sin x + 12. y´= – 12√2 (sin x – 1/√2). y´ = 0, если –12√2 sin x + 12 = 0, sin x =1/√2 Проиллюстрируем решение на окружности На выделенном промежутке sin x – 1/√2 принимает положительные значения, но коэффициент перед этим множителем отрицателен. Тогда промежутки Монотонности определятся В точке π/4 функция достигает максимума, который является и наибольшим значением . у (π/4) = –12√2 ∙ 1/√2+ 12 ∙ ∙π/4 – 3π + 9 = – 6+ 3π – 3π + 9 = 3 Ответ: 3 Найдите наибольшее значение функции y = 15x – 3sin x + 5 на отрезке [– π/2; 0]. y´= 15 – 3cos x. y´=3(5 – cos x). Т.к. |cos x| ≤ 1, то 3(5 – cos x) > 0, т.е. y´ > 0, и функция возрастает на R. Тогда наибольшее значение функция принимает на правом конце отрезка. y(0) = 5 Ответ: 5 Найдите наименьшее значение функции y = 2cos x + 18/π x + 7 на отрезке [ (-2π)/3; 0]. y´= – 2sin x + 18/π, y´= – 2(sin x – 9/π ) Т.к. |sin x| ≤ 1, -9/π < – 2 , то sin x – 9/π < 0, а коэффициент отрицателен, тогда y´ > 0, и функция возрастает на R. Наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка. у((-2π)/3 ) = 2 cos((-2π)/3) +18/π ((-2π)/3)+ 7 = 2∙ (– 1/2) – 12+7 = – 6 Ответ: – 6 Найдите наибольшее значение функции y = 10sin x – 36/π x + 7 на отрезке[-( 5π)/6 ; 0] y´ = 10cos x – 36/π. y´ = 10(cos x – 3,6/π). Т.к. |cos x| ≤ 1, а 3,6/π > 1, то 10(cos x – 3,6/π)< 0, значит, функция убывает на R. Тогда наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка. y(-( 5π)/6) = 10cos(-( 5π)/6) – 36/π ∙(-( 5π)/6) +7 =10∙(-1/2 ) + 30 +7 = 32 Ответ: 32 Найдите наибольшее значение функции y =3tg x – 3x +5 на отрезке [-( π)/4 ; 0]. y´=3/(〖cos〗^2 x) –3. y´=3( 1/(〖cos〗^2 x) –1), 1/(〖cos〗^2 x) –1 = (1-〖cos〗^2 x)/(〖cos〗^2 x) = (〖sin〗^2 x)/(〖cos〗^2 x) = tg2x y´=3tg2x, y´ ≥ 0. Значит, функция возрастает на отрезке [-( π)/4 ; 0] и наибольшее значение принимает на его правом конце. у(0) = 3∙tg 0 – 3∙0 +5 = 5 Ответ: 5 Найдите наибольшее значение функции y =32tg x – 32x +8π – 8 на отрезке [-( π)/4; ( π)/4]. y´=32/(〖cos〗^2 x) –32. y´=32(1/(〖cos〗^2 x) –1), 1/(〖cos〗^2 x) –1 = (1-〖cos〗^2 x)/(〖cos〗^2 x) = (〖sin〗^2 x)/(〖cos〗^2 x) = tg2x y´=32tg2x, y´ ≥ 0. Значит, функция возрастает на отрезке [-( π)/4; ( π)/4] и принимает наибольшее значение на его правом конце. у(( π)/4) = 32∙tg ( π)/4 – 32∙( π)/4 +8π –8 = 32 – 8π + 8π –8 = 24 Ответ: 24 Найдите наименьшее значение функции y = 3x–ln(x + 5)3 на отрезке [– 4,5 ;0 ]. Область определения функции (– 5; +∞) . Преобразуем функцию y = 3x– 3∙ln(x + 5) Продифференцируем функцию преобразованного вида. При дифференцировании сложной функции (ln(x + 5)) производная внутренней функции (х + 5) равна 1 y´ = 3 – ( 3)/(х+5). y´ =3 (1 – ( 1)/(х+5)); преобразуем выражение, получившееся в скобках, 1 – ( 1)/(х+5) = (х+5- 1)/(х+5) = ( х+4)/(х+5).. Исследуем функцию по алгоритму, а потом сузим область исследования до указанного отрезка. Из графической иллюстрации видно, что наименьшее значение функции совпадает с её минимумом, достигаемым в точке хо = – 4. y(–4) = 3(- 4) – ln(- 4 + 5)3 = – 12– ln1 = - 12 Ответ: – 12 Найдите наибольшее значение функции y= ln(x + 8)9 – 9x на отрезке[– 7,5 ;0 ]. Преобразуем вид функции y= 9∙ln(x + 8) – 9x . При дифференцировании сложной функции (ln (x + 8)) производная внутренней функции (х + 8) равна 1. y´= ( 9)/(х+8) – 9; y´=9∙( ( 1)/(х+8) – 1) = 9 ∙ ( 1-x-8)/(х+8) = 9 ∙ ( -x-7)/(х+8) = –9 ∙ (x+7)/(x+8). Очевидно, что стационарная точка равна – 7, а критическая точка равна – 8. Исследуем функцию по алгоритму, а потом сузим область исследования до указанного отрезка Из графической иллюстрации видно, что наибольшее значение функции совпадает с её максимумом, достигаемым в точке хо = – 7. y(–7) = ln(– 7 + 8)9 – 9 ∙ (– 7 ) = 0 + 63 = 63 Ответ: 63 Задание 12. Решение текстовых задач». Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений или систем уравнений. Читая текст задачи, определите, какие величины ( скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость, производительность труда, срок, объём работы…) принимают в ней участие, в каких единицах эти величины измерены. Не путайте величину с единицей её измерения. Например. Величина длина измеряется в метрах, километрах, футах, микронах … Величина масса измеряется в килограммах, тоннах, фунтах… Величина время – в секундах, минутах, днях… Определите «участников» задачи. Часто это Первый и Второй рабочие, автобусы, план и факт, было и стало, по течению и против течения, до и после события, мастер и ученик… Ввод неизвестной величины с единицами измерения. Чаще всего эта та величина, значение которой требуется найти. Условие задачи сводим в таблицу с указанием величин и участников. Фраза, являющаяся основанием для составления уравнения. Составление уравнения. Установление области допустимых значений (ОДЗ) по содержанию задачи. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, на 28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. Пусть х км/ч - скорость первого автомобилиста. х > 0. v км/ч t ч s км Время, затраченное на весь 1-й x s/x s путь автомобилистами, 2-й 1-я половина пути 42 (s/2)/42 = s/84 s/2 одинаковое 2-й 2-я половина пути х + 28 (s/2)/(x+28) = s/(2(x+28)) s/2 s/x = s/84 + s/(2(x+28)) Разделим все члены уравнения на s. 1/x = 1/84 + 1/(2(x+28)) . Избавимся от знаменателя, найдя дополнительные множители к каждой дроби. К первой: 84 и (х + 28). Ко второй: х и (х + 28). К третьей: 42 и х. 84(х + 28) = х ∙ (х + 28) + 42х. Приведём уравнение к стандартному виду: х2 – 14х – 84 ∙ 28 = 0. Корни: х = – 42 и х = 56. Т.к. скорость не может быть отрицательным числом, то х = 56. Ответ: 56 Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 39 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Пусть х км/ч - скорость первого автомобилиста. х > 39 v км/ч t ч s км Время, затраченное на весь 1-й x s/x s путь автомобилистами, 2-й 1-я половина пути х – 10 (s/2)/(х-10) = s/(2(х-10)) s/2 одинаковое 2-й 2-я половина пути 60 (s/2)/60 = s/120 s/2 s/x = s/120 + s/(2(x-10) Разделим все члены уравнения на s. 1/x = 1/120 + 1/(2(x-10)) . Избавимся от знаменателя, найдя дополнительные множители к каждой дроби. К первой: 120 и (х – 10). Ко второй: х и (х – 10). К третьей: 60 и х. 120(х – 10) = х ∙(х – 10) + 60х. Приведём уравнение к стандартному виду: х2 – 70х + 1200 = 0. Корни: х = 40 и х = 30. Т.к. скорость должна быть больше 39 км/ч, то х = 40. Ответ: 40 Два велосипедиста одновременно отправляются в 88 -километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч. Пусть х км/ч - скорость второго велосипедиста. х > 0 v км/ч t ч s км Время движения 2-ого велосипедиста на 3 часа 1-й х + 3 88/(x+3) 88 больше времени движения 1-ого велосипедиста. Вычтем из большего времени меньшее: 2-й х 88/(х ) 88 88/x – 88/(x+3) = 3 Избавимся от знаменателя, найдя дополнительные множители к каждой дроби. К первой: х + 3 . Ко второй: х. К третьей: х + 3 и х. 88(х + 3) – 88 ∙х = 3х∙(х + 3). Вынесем за скобки общий множитель(что всегда полезно делать) 88(х + 3 – х) = 3(х2 + 3х). 3∙ 88 = 3(х2 + 3х). Разделим обе части уравнения на 3 и приведём к стандартному виду: х2 + 3х – 88 = 0. Корни: х = –11 и х = 8. Т.к. скорость должна быть больше 0, то х = 8. Ответ: 8 Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Пусть х км/ч - скорость лодки в стоячей воде. х > 1 (иначе лодку будет сносить течение) v км/ч t ч s км Время движения против течения на 2 часа По течению х + 1 255/(x+1) 255 больше времени движения по течению. Вычтем из большей величины меньшую: Против течения х – 1 255/(х-1) 255 255/(x-1) – 255/(x+1) = 2 Избавимся от знаменателя, найдя дополнительные множители к каждой дроби. К первой: х + 1. Ко второй: х – 1. К третьей: х + 1 и х –1. 255(х + 1) – 255 ∙( х– 1) = 2(х – 1)(х + 1). Вынесем за скобки общий множитель: 255(х + 1 – х + 1) = 2(х2 – 1). 2∙ 255 = 2(х2 – 1). Разделим обе части уравнения на 2 и приведём к стандартному виду: х2 – 256 = 0. Корни: х = –16 и х = 16. Т.к. скорость должна быть больше 0, то х = 16. Ответ: 16 Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. Теплоход отсутствовал 48 часов, но 10 часов стоял, значит, в движении был 38 часов. Пусть х км/ч - скорость теплохода в стоячей воде. х > 5 v км/ч t ч s км Всё время движения равно сумме времени движения против течения и По течению х + 5 336/(x+5) 336 времени движения по течению. Теплоход двигался 38 часов Против течения х – 5 336/(х-5) 336 336/(x-5) + 336/(x+5) = 38 Избавимся от знаменателя, найдя дополнительные множители к каждой дроби. К первой - х + 5. Ко второй - х – 5. К третьей- х + 5 и х –5. 366(х + 1) + 255 ∙( х– 1) = 38(х – 5)(х + 5). Вынесем за скобки общий множитель: 336(х + 5 + х – 5) = 38(х2 – 25) 336 ∙ 2х = 38(х2 – 25). Разделим обе части уравнения на 2 и приведём к стандартному виду: 19х2 – 336х – 25∙19= 0. Корни: х = –25 и х = 361. Т.к. скорость должна быть больше 5, то х = 361. Ответ: 361 Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч. Байдарка отсутствовала 6 часов, но 1 1/3 часа стояла, значит, в движении была 4 ( 2)/3 часа. Пусть х км/ч - скорость байдарки в стоячей воде, х > 2. v км/ч t ч s км Всё время движения равно сумме времени движения против течения и По течению х + 2 15/(x+2) 15 времени движения по течению. Байдарка двигалась 4 ( 2)/3 часа Против течения х – 2 15/(х-2) 15 15/(х-2) + 15/(x+2) = 4 ( 2)/3 (4 ( 2)/3 = ( 14)/3) Выполнив преобразования, подобные описанным в предыдущем номере, получим в стандартном виде: 7х2 – 45х – 28= 0. Корни: х = – ( 4)/7 и х = 7. Т.к. скорость должна быть больше 2, то х = 7. Ответ: 7 В задачах «на работу» производительность труда может быть описана словами "скорость работы". Объём работы может быть задан в условных единицах: заказ, печь, .. Часто приходится сначала ввести основные величины и установить их связи, а потом выразить реальное соотношение величин. Первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 391 деталей, на 6 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 460 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий? Пусть х деталей в час производительность первого рабочего производительность (дет/ час) время час Объём работы Время работы первого рабочего на первый рабочий х 391/(x ) 391 6 часов меньше времени работы второго рабочего, тогда второй рабочий х – 3 460/(х-3) 460 460/(x-3) – 391/x = 6 460х – 391(х – 3) = 6х(х – 3). 6х2 – 18х – 69х – 3 ∙ 391= 0. 6х2 – 87х – 3 ∙ 391= 0. Разделим почленно на 3, получим 2х2 – 29х – 391= 0. Корни х = – 8,5 или х = 18. Производительность не может быть величиной отрицательной. Ответ 18 Первая труба пропускает на 1 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 930 литров она заполняет на 1 минут раньше, чем первая труба? Пусть производительность второй трубы х литров в минуту. производительность время Объём работы Время работы первой трубы на 1 минуту больше, чем первая труба х – 1 930/(x-1) 930 время работы второй трубы, тогда вторая труба х 930/х 930 930/(x-1) – 930/x = 1 930х – 930(х –1) = х∙(х – 1). 930 = х2 – х. х2 – х – 930 = 0. Корни: х = – 30 или х = 31. Ответ 31 Двум сотрудникам издательства поручили отредактировать рукопись объемом 560 страниц. Один сотрудник, отдав второму 480 страниц рукописи, взял остальные страницы себе и выполнил свою часть работы за время, в 8 раз меньшее, чем второй - свою. На сколько страниц меньше первый сотрудник должен был отдать второму (добавив их себе), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время? Для решения этой задачи можно ввести вспомогательную переменную, которая не является целью решения, но поможет выразить соотношение искомых величин. Пусть t часов реальное время работы первого сотрудника. И пусть х страниц искомая величина. Тогда Реальная работа производ. стр /ч время (ч) объём работы г и производ. время (ч) Объём (страницы) 1 сотруд. 80/t t 80 п о 80/t (80+х)/(80/t) = (t∙(80+x))/80 80 + х 2 сотруд. 480/8t = 60/t 8t 480 т е за 60/t (480-х)/(60/t)= (t ∙ (480-x))/60 480 – х Т.к. гипотетическое время должно быть одинаковым, то (t∙(80+x))/80 = (t∙(480-x))/60. Сократив обе части на t/20,получим пропорцию (80+x)/4 = (480-x)/3. Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов 3(80+х) = 4(480–х). 240 + 3х = 1920 – 4х. 7х = 1680. х = 240. Ответ 240 Два плотника, работая вместе, могут выполнить задание за 36 часов. Производительности труда первого и второго плотников относятся как 3:4. Плотники договорились работать поочередно. Какую часть этого задания должен выполнить второй плотник, чтобы все задание было выполнено за 69,3 часа? Введём вспомогательную величину: коэффициент пропорциональности производительности плотников, равный х. Тогда производительность первого плотника равна 3х, второго – 4х, а их совместная производительность равна 7х. Пусть часть работы, выполненная вторым плотником равна у Вводная таблица Производ. км/ч время (ч) Объём усл.единица Связь производительности с объёмом и временем при совместной работе: 7х = 1/36 совместно 7х 36 1 х = 1/(7∙36) 1-й 3х (1-у)/3х 1 – у Т.к. задание при работе порознь выполнено за 69,3 часа, то 2-й 4х у/4х у (1-у)/3х + у/4х = 69,3. 4(1–у) + 3у = 69,3∙12∙1/(7∙36) у = 4 – 3,3 = 0,7. Ответ 0,7 При покупке школьнику спортивной формы (спортивного костюма и кроссовок) родителям пришлось заплатить на 32% больше, чем 2 года назад, причем спортивный костюм подорожал на 20%, а кроссовки – на 40%. Сколько процентов от цены спортивной формы составляла цена кроссовок два года назад? Результатом решения этой задачи служит не стоимость какого-либо предмета формы, а число, выражающее соотношение(частное от деления) стоимости кроссовок к стоимости всей формы. Пусть х рублей стоимость спортивного костюма, а у рублей стоимость кроссовок два года назад. Примем их за условные единицы или 100%. Переведём проценты в десятичную дробь. Тогда Стоимость костюм кроссовки форма Настоящая стоимость формы равна 1,32 Два года назад х у х + у стоимости двухлетней давности В настоящий момент 1,2х 1,4у 1,2х + 1,4у 1,2х + 1,4у = 1,32(х + у) 1,2х + 1,4у = 1,32х + 1,32 у. 0,08у = 0,12х. Нас интересует стоимость кроссовок, поэтому избавимся от стоимости костюма входящей в стоимость формы: выразим её через стоимость кроссовок и подставим в стоимость формы. х = 0,08у/0,12 = 2/3 у. х + у = 2/3 у + у = 5/3 у. Найдем требуемое отношение у/(х+у) = у/(5/3 у) = 3/5=0,6 =60% Ответ: 60 Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 часов. Если сначала один первый печник будет работать 2 часа, а затем один второй ― 3 часа, то они выполнят только 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь один первый печник? Пусть х ч - время, необходимое первому печнику, чтобы сложить печь. Вводная таблица Производ. км/ч время (ч) Объём (печь) о с производит Время (ч) Объём совместно 1/12 12 1 н о 2/х + ( 1/4 – 3/х ) 1-й 1/х х 1 в н 1/х 2 2/х 2-й 1/12 – 1/х 1 а я 1/12 – 1/х 3 3( 1/12 – 1/х ) = 3/12 – 3/х = 1/4 – 3/х Т.к. реально выполнено только 20% = 0,2 = 1/5 всего объёма работы (1 печи), то 2/х + 1/4 – 3/х = 1/5; 2/х – 3/х = 1/5 – 1/4. – 1/х = – 1/20 х = 20 Ответ: 20 Три сенокосилки имеют разную производительность. Первая и вторая, работая вместе, скашивают некоторое поле за 10 часов, а вторая и третья, работая вместе, скашивают это же поле за 8 часов. Если бы одновременно работали все три сенокосилки, то они скосили бы это поле за 5 часов. За какое время скосит это поле одна вторая сенокосилка? Пусть время, необходимое первой сенокосилке для обработки поля равно х часов, второй сенокосилке – у часов, а третьей – z часов. Нужно найти только у. Вводная Произво- дительн. время Объём работы О с время Объём работы первая сенокос. ( 1)/x x 1 н о первая и вторая 10 ( 10)/x + ( 10)/y = 1 вторая сенокос. ( 1)/y y 1 в н третья и вторая 8 ( 8)/z + ( 8)/y = 1 третья сенокос. ( 1)/z z 1 а я все три 5 ( 5)/x + ( 5)/y + ( 5)/z = 1 Преобразуем уравнения так, чтобы числители были равны 1, для этого разделим почленно первое уравнение на 10, второе – на 8, а третье – на 5. ( 1)/x + ( 1)/y = 1/10 ( 1)/z + ( 1)/y = 1/8 ( 1)/x + ( 1)/y + ( 1)/z = 1/5 Сложим первое и второе уравнения и из полученной суммы вычтем третье. ( 1)/x + ( 2)/y + ( 1)/z – ( ( 1)/x + ( 1)/y + ( 1)/z ) = 1/10 + 1/8-1/5 1/у = (4+5-8)/40 = 1/40 . Тогда у = 40. Ответ: 40 Расстояние между городами A и B равно 580 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 300 км от города A. Ответ дайте в км/ч. Пусть х км/ч - скорость автомобилиста, ехавшего из А 280 км – расстояние, пройденное автомобилистом, ехавшим из В. автомобилисты v км/ч t ч s км Время, затраченное автомобилистом, из А x 300/x 300 ехавшим из В, на 2 часа меньше времени автомобилиста, ехавшего из А из В 70 280/70 = 4 280 300/x – 2 = 4 ; 300/x = 6 ; х = 50 . Ответ: 50 Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12-ти процентный раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15-ти процентный раствор. Определите первоначальную процентную концентрацию каждого раствора. Самолёт пролетел первую половину трассы со скоростью 700 км/ч, а вторую – со скоростью 900 км/ч. Какова была средняя скорость полета на трассе? Средняя скорость движения равна частному о деления всего пройденного расстояния на все затраченное время. v км/ч t ч s км 1-я половина пути 700 (s/2)/700 = s/1400 s/2 s/(s/1400 + s/1800) = 2-я половина пути 900 (s/2)/900 = s/1800 s/2 (1400∙1800)/(1400+1800) = 787,5 Всего s/(s/1400 + s/1800) s/1400 + s/1800 s Ответ: 787,5 В13 Вероятность. Комбинаторика. Статистика Вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов ко всему числу исходов. Обозначается вероятность наступления события Р. Для статистической обработки ряда данных прежде всего эти ряды данных ранжируются (упорядочиваются от меньшего к большему, причем каждое число выписывается столько раз, сколько раз оно встречается в ряду) и используют следующие характеристики: размах (R) – разность между наибольшим и наименьшим значениями случайных величин; мода (Мо) – наиболее часто встречающееся значение величины; медиана (Ме) – серединное значение случайной величины. Если количество членов ряда четно, то медианой является среднее арифметическое значение двух серединных чисел; среднее(арифметическое ) значение (S ̅)– сумма всех членов ряда, поделенная на их количество На 1000 автомобилей, выпущенных в 2007–2009 г, 150 имеют дефект тормозной системы. Какова вероятность купить неисправную машину? Покупка неисправной машины в данной задаче является “ благоприятным исходом ”, а количество всех выпущенных машин - общим числом исходов. Тогда Р = 150/1000 = 0,15. Ответ: 0,15 На соревнованиях по прыжкам в высоту среди девочек 14 лет были показаны результаты: 100; 140; 130; 80; 110; 130; 120; 125; 140; 125. Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора чисел. Ранжируем ряд: 80; 100; 110; 120; 125; ↑125; 130; 130; 140; 140. Сумма всех членов ряда равна 1200, количество членов равно 10. S ̅ = 120 Медианой ряда будет среднее арифметическое пятого и шестого членов ранжированного ряда, т.е. Ме = 125. S ̅ - Ме = - 5. Ответ: − 5 Фрезеровщики бригады затратили на обработку одной детали разное время, представленное в виде ряда данных: 40; 37; 35; 36; 32; 42;32; 38; 32. На какое число медиана этого набора отличается от среднего арифметического? Ранжируем ряд: 32; 32; 32; 35; 36; 37; 38; 40; 42. Сумма всех членов ряда равна 324, количество членов равно 9. S ̅ = 36 Медианой рада будет пятый член ранжированного ряда, т.е. Ме = 36. S ̅ - Ме = 0. Ответ: 0 В коробке находятся 7 черных, 8 белых и 10 красных шаров. Какова вероятность того что из коробки случайным образом будет извлечен белый шар? Событием является извлечение шара. Всего возможно 25 исходов. Благоприятных исходов возможно 8. Тогда Р = 8/25 = 0,32. Ответ: 0,32 В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых. Рассмотрим возможные исходы в виде таблицы 1 2 3 4 5 6 Всего возможно 36 исходов, 1 11 12 13 14 15 16 Благоприятными исходами будут те, при которых сумма 2 21 22 23 24 25 26 очков равна 3. Таких исходов 2. 3 31 32 33 34 35 36 Вероятность выпадения 3 очков в сумме равна 2:36 = 0,555.. 4 41 42 43 44 45 46 По правилам округления чисел т.к. первая отбрасываемая 5 51 52 53 54 55 56 цифра равна 5, то Р ≈ 0,56 6 61 62 63 64 65 66 Ответ: 0,56 У Пети в кармане лежали четыре монеты по рублю и две монеты по два рубля. Петя не глядя, переложил в другой карман три монеты. Какова вероятность того, что обе двухрублевых монеты окажутся в одном кармане? Событием является извлечение трех монет. Рассчитаем количество исходов(наступлений события). Возможны шесть вариантов извлечения первой монеты, при каждом из которых возможны пять вариантов извлечения второй монеты, при каждом из получившихся вариантов возможны четыре варианта извлечения третьей монеты. Таким образом, всего возможно 6 •5 • 4 = 120 вариантов извлечения трех монет из шести. Но в этом рассуждении каждый набор представлен шесть раз в зависимости от порядка вхождения элементов в набор. Например, если пронумеровать монеты 1,2,3,4,5,6, то набор, содержащий монеты 1,2 и 3 сосчитан 6 раз в вариантах 123, 132, 213, 231, 312, 321. Петя же переложил все три монеты одновременно и, порядок выбора монет не был важен, поэтому разделим все количество вариантов на 6, чтобы избежать повторения наборов. Количество всех исходов равно 20. Рассчитаем количество благоприятных исходов, т.е. попадание обеих двухрублевых монет в один карман. Это возможно в двух ситуациях. Обе монеты были извлечены и перешли в .другой карман, тогда третью рублевую монету можно выбрать 4 способами. Были переложены только три рублевые монеты, что можно сделать тоже только четырьмя способами(не брать одну из четырех монет) Количество благоприятных исходов равно 8 Р = 8/20 = 0,4. Ответ: 0,4

Комментариев нет:

Отправить комментарий